Задача №1973
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=|\infty-\infty|=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №458 |