Задача №1972
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=|\infty-\infty|=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)\cdot\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x\right)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x(a+b)+ab}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)}+1}=\frac{a+b}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №457 |