Задача №1977

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)}\).

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x^2}=+\infty}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2-2x}=+\infty}\), то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\infty-\infty}\). Мы можем пойти стандартным путём, используя домножение на сопряжённое выражение, однако лучше разбить данный предел на два, а потом применить домножение в каждом из полученных пределов. Вычитая и прибавляя \(\displaystyle{x}\) будем иметь:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\sqrt{x^2-2x}+x\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right) \]

Рассматривая пределы \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)}\) убеждаемся, что они равны 1 и -1 соответственно (каждый предел вычисляется с помощью домножения на сопряжённое выражение).

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)-\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right) =1-(-1) =2 \]

А если не рассматривать два предела, а просто домножить на сопряжённое?

Для начала, чтобы избавиться от квадратного корня, домножим и разделим на выражение \(\displaystyle{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)}\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=|\infty-\infty|=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}} \]

Теперь избавимся от кубического корня. Домножим и разделим на выражение \(\displaystyle{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2}\).

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^3+3x^2\right)^2-\left(x^2-2x\right)^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^5-3x^4+8x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{12x^5}{x^5}-\frac{3x^4}{x^5}+\frac{8x^3}{x^5}}{\frac{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}{x}\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2}{x^4}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{12-\frac{3}{x}+\frac{8}{x^2}}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}\right) \cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^4}+\left(1-\frac{2}{x}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^2}+\left(1-\frac{2}{x}\right)^2\right)}=\frac{12}{2\cdot{3}}=2 \]

Вообще, этот предел можно решить куда проще, если сделать замену переменной \(\displaystyle{t=\frac{1}{x}}\), при этом \(\displaystyle{t\to{0+0}}\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\\ =\lim_{t\to{0+0}}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{t^3}+\frac{3}{t^2}} - \sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}} \right) =\lim_{t\to{0+0}}\frac{\sqrt[3]{1+3t}-\sqrt{1-2t}}{t}=\\ =\lim_{t\to{0+0}}\frac{1+t+o(t)-\left(1-t+o(t)\right)}{t} =\lim_{t\to{0+0}}\frac{2t+o(t)}{t} =\lim_{t\to{0+0}}\left(2+\frac{o(t)}{t}\right) =2 \]

Ответ:

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №462