Задача №1578
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx}\).
Решение
Разделив многочлен в числителе дроби на многочлен в знаменателе, получим:
Для подынтегральной дроби получим:
Значения параметров \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\), \(\displaystyle{D}\), \(\displaystyle{E}\) найдём методом вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).
Например, чтобы найти значение \(\displaystyle{A}\), вычёркиваем \(\displaystyle{x}\) в дроби \(\displaystyle{\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}}\), а в оставшееся выражение подставляем \(\displaystyle{x=0}\):
Продолжая этот процесс, получим \(\displaystyle{B=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{C=\frac{3}{2}}\), \(\displaystyle{D=1}\), \(\displaystyle{E=-1}\).
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x^2}{2}+\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln|x+1|+\ln|x-2|-\ln|x+2|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2021 |