Задача №2358
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin{x}+\cos{x}}}\).
Решение
Сумму \(\displaystyle{\sin{x}+\cos{x}}\) легко записать в сокращённом виде. Например, так:
\[
\sin{x} + \cos{x}
= \sqrt{2}\cdot\left(\sin{x}\cos\frac{\pi}{4} + \cos{x}\sin\frac{\pi}{4}\right)
= \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)
\]
Так как \(\displaystyle{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}\), то можно использовать и иную формулу:
\[\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\]
Применим первую выведенную формулу:
\[
\int\frac{dx}{\sin{x}+\cos{x}}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{d\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\right| + C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\right| + C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2105 |