Задача №2436

Решение

Обозначим \(\displaystyle{x_n = \frac{a^n}{(1+a)\left(1+a^2\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a^n\right)}}\). Ввиду того, что \(\displaystyle{a\gt{0}}\), имеем \(\displaystyle{x_n\gt{0}}\).

Первый способ

Если \(\displaystyle{a=1}\), то \(\displaystyle{x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n}\), поэтому \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\) (см. задачу 2388). Пусть теперь \(\displaystyle{0\lt{a}\lt{1}}\). Тогда, ввиду неравенства \(\displaystyle{1+a^k\gt{1}}\), получим:

Исходя из полученного двойного неравенства, а также из того, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a^n= 0}\), имеем \(\displaystyle{x_n\to{0}}\). Рассмотрим теперь случай \(\displaystyle{a\gt{1}}\). Так как \(\displaystyle{1+a^k\gt{a^k}}\), то при \(\displaystyle{n\ge{4}}\) будем иметь

Так как \(\displaystyle{0\lt\frac{1}{a}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{\left(\frac{1}{a}\right)^n\to{0}}\), откуда следует \(\displaystyle{x_n\to{0}}\). Итак, при любом \(\displaystyle{a\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\).

Второй способ

Воспользуемся результатами задач 2388 и 2347. Учтём, что \(\displaystyle{x_n\gt{0}}\):

Согласно задаче 2347, полученный результат означает, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\).