Задача №2388

Решение

Если \(\displaystyle{q=0}\), то \(\displaystyle{q^n=0}\), откуда следует, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}q^n = 0}\). Пусть теперь \(\displaystyle{q\neq{0}}\), т.е. все дальнейшие рассуждения станем проводить при условии \(\displaystyle{0\lt{|q|}\lt{1}}\).

Докажем, что для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что при всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) истинно неравенство \(\displaystyle{\left|q^n\right|\lt\varepsilon}\). При условии \(\displaystyle{\varepsilon\ge{1}}\) имеем \(\displaystyle{|q|^n\lt{1}\le\varepsilon}\), т.е. неравенство \(\displaystyle{\left|q^n\right|\lt\varepsilon}\) будет истинным при любом значении \(\displaystyle{n}\). В этом случае можно принять \(\displaystyle{n_{\varepsilon} = 1}\).

Пусть теперь \(\displaystyle{0\lt\varepsilon\lt{1}}\). Учтём, что при условии \(\displaystyle{0\lt{|q|}\lt{1}}\) имеем \(\displaystyle{\ln|q|\lt{0}}\).

Таким образом, в качестве номера \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) можно принять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству \(\displaystyle{n\gt\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}}\). Например, такое: \(\displaystyle{n_{\varepsilon} = \left[\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}\right]+1}\).

Таким образом, искомое значение \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) таково: \(\displaystyle{n_{\varepsilon} = \left\{\begin{aligned}& 1,\; 0\lt\varepsilon\lt{1};\\& \left[\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}\right]+1,\; \varepsilon\gt{1}. \end{aligned}\right.}\). Утверждение задачи доказано.