Задача №2347

Решение

Первый способ

Если \(\displaystyle{q}\) – конечное число, то ввиду \(\displaystyle{\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\to{q}\gt{1}}\) имеем существование такого номера \(\displaystyle{n_0}\), начиная с которого истинно неравенство \(\displaystyle{\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\gt{1}}\) (см. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том №1, пункт №26).

Если же \(\displaystyle{q=+\infty}\), то согласно определению бесконечно большой последовательности существует номер \(\displaystyle{n_0}\), начиная с которого тоже истинно неравенство \(\displaystyle{\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\gt{1}}\).

Отсюда следует, что при \(\displaystyle{n\ge{n_0}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{|a_n|\gt{|a_{n+1}|}}\), что означает убывание последовательности \(\displaystyle{x_n = |a_n|}\), начиная с \(\displaystyle{n_0}\). При этом стоит отметить, что ввиду \(\displaystyle{a_n\neq{0}}\) имеем \(\displaystyle{x_n\gt{0}}\). Последовательность \(\displaystyle{\{x_n\}}\) ограничена снизу, например, нулём.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что последовательность \(\displaystyle{\{x_n\}}\) имеет конечный предел, который обозначим как \(\displaystyle{\alpha}\). Из \(\displaystyle{x_n\to\alpha}\) получаем \(\displaystyle{x_{n+1}\to\alpha}\), как следует из результатов задачи 2346.

Далее, ввиду того, что \(\displaystyle{x_n\gt{0}}\), имеем \(\displaystyle{\alpha\ge{0}}\). Рассмотрим сперва случай \(\displaystyle{\alpha\gt{0}}\).

Полученный результат противоречит условию, поэтому остаётся единственный вариант \(\displaystyle{\alpha = 0}\).

Таким образом, \(\displaystyle{x_{n}\to{0}}\), а значит, согласно результатам задачи 2339, и \(\displaystyle{a_{n}\to{0}}\). Утверждение доказано как для случая конечного \(\displaystyle{q}\), так и для \(\displaystyle{q=+\infty}\).

Второй способ

Рассмотрим сперва случай конечного \(\displaystyle{q}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=q}\), то для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что для для всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполнено неравенство

Исходя из этого неравенства получаем

Выберем \(\displaystyle{\varepsilon}\) таким образом, чтобы значение \(\displaystyle{q-\varepsilon}\) было бо́льшим единицы. Например, принимая \(\displaystyle{\varepsilon=\frac{q-1}{2}}\), будем иметь

Обозначая \(\displaystyle{p=\frac{1}{q-\varepsilon}}\), \(\displaystyle{0\lt{p}\lt{1}}\), будем иметь \(\displaystyle{|a_{n+1}|\lt{p}\cdot|a_n|}\), начиная с некоего номера \(\displaystyle{n_0}\).

Теперь рассмотрим случай \(\displaystyle{q=+\infty}\). Согласно определению бесконечно большой последовательности, каким бы ни было число \(\displaystyle{0\lt{p}\lt{1}}\) найдётся номер \(\displaystyle{n_0}\), начиная с которого будет выполнено неравенство \(\displaystyle{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\gt\frac{1}{p}}\), что тоже означает \(\displaystyle{|a_{n+1}|\lt{p}\cdot|a_n|}\), начиная с номера \(\displaystyle{n_0}\).

Можем записать цепочку неравенств:

Исходя из записанной цепочки неравенств, имеем \(\displaystyle{0\lt\left|a_{n_0+n}\right|\lt{p^n}\left|a_{n_0}\right|}\). Строго это неравенство можно доказать, используя метод математической индукции.

Таким образом, для последовательности \(\displaystyle{y_n = \left|a_{n_0+n}\right|}\) верно неравенство \(\displaystyle{0\lt{y_n}\lt\left|a_{n_0}\right|{p^n}}\). Так как при этом \(\displaystyle{0\lt{p}\lt{1}}\), то \(\displaystyle{\left|a_{n_0}\right|{p^n}\to{0}}\), откуда имеем \(\displaystyle{y_n\to{0}}\). С учётом результатов задачи 2346, из \(\displaystyle{y_n\to{0}}\) следует \(\displaystyle{|a_n|\to{0}}\), что равносильно \(\displaystyle{a_n\to{0}}\). Утверждение доказано как для случая конечного \(\displaystyle{q}\), так и для \(\displaystyle{q=+\infty}\).