Задача №2346

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = x}\), то для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что для всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{\left|x_n - x\right|\lt\varepsilon}\).

Так как условие \(\displaystyle{y_n = x_{n+p}}\), равно как и \(\displaystyle{y_n = x_{n-p}}\), выполнено при \(\displaystyle{n\ge{n_0}}\), то, чтобы гарантировать истинность неравества \(\displaystyle{n_{\varepsilon}\ge{n_0}}\), предварительно сделаем одну замену.

Обозначим \(\displaystyle{m_{\varepsilon} = \left\{\begin{aligned} & n_0,\;n_{\varepsilon}\le{n_0};\\ & n_{\varepsilon}, \; n_{\varepsilon}\gt{n_0}. \end{aligned}\right.}\). Тогда, ввиду того, что \(\displaystyle{m_{\varepsilon}\ge{n_{\varepsilon}}}\), получаем, что для всех \(\displaystyle{n\ge{m_{\varepsilon}}}\) неравенство \(\displaystyle{\left|x_n - x\right|\lt\varepsilon}\) будет истинным, причём \(\displaystyle{m_{\varepsilon}\ge{n_0}}\).

В дальнейшем решении, исходя из выполнения условия \(\displaystyle{m_{\varepsilon}\ge{n_0}}\), будем использовать равенства \(\displaystyle{y_n = x_{n+p}}\) и \(\displaystyle{y_n = x_{n-p}}\) без дополнительных оговорок. Переформулируем первую фразу решения с учётом сделанной замены:

Первый случай: \(\displaystyle{y_n = x_{n+p}}\)

Так как \(\displaystyle{n+p\gt{n}}\), то если для некоего \(\displaystyle{n\in{N}}\) выполнено условие \(\displaystyle{n\ge{m_{\varepsilon}}}\), то для этого же значения \(\displaystyle{n}\) получим \(\displaystyle{n+p\ge{m_{\varepsilon}}}\), откуда, согласно приведённому выше свойству, имеем \(\displaystyle{\left|x_{n+p} - x\right|\lt\varepsilon}\).

Согласно условию, \(\displaystyle{y_n = x_{n+p}}\), т.е. неравенство \(\displaystyle{\left|x_{n+p} - x\right|\lt\varepsilon}\) примет вид \(\displaystyle{\left|y_{n} - x\right|\lt\varepsilon}\). Таким образом, для всех значений \(\displaystyle{n\ge{m_{\varepsilon}}}\) будет истинно неравенство \(\displaystyle{\left|y_{n} - x\right|\lt\varepsilon}\), что и означает \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}y_n = x}\).

Второй случай: \(\displaystyle{y_n = x_{n-p}}\)

Опять станем использовать сформулированное выше свойство.

Введём обозначение \(\displaystyle{h_{\varepsilon} = m_{\varepsilon}+p}\). Для произвольного значения \(\displaystyle{n\gt{h_{\varepsilon}}}\) получим \(\displaystyle{n-p\gt{m_{\varepsilon}}}\). Однако из выполнения неравенства \(\displaystyle{n-p\gt{m_{\varepsilon}}}\) следует, что \(\displaystyle{\left|x_{n-p} - x\right|\lt\varepsilon}\).

Далее, вспоминая, что \(\displaystyle{y_n = x_{n-p}}\), последнее неравенство запишем в виде \(\displaystyle{\left|y_{n} - x\right|\lt\varepsilon}\). Подводя итоги, получаем, что для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{h_{\varepsilon}}\) такой, что для всех \(\displaystyle{n\ge{h_{\varepsilon}}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{\left|y_n - x\right|\lt\varepsilon}\). Это и означает, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}y_n = x}\).