Задача №2339
Условие
Для того, чтобы последовательность \(\displaystyle{\{ x_n \}}\) была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность \(\displaystyle{\{ |x_n| \}}\) была бесконечно малой. Доказать.
Решение
Доказательство этого утверждения проведём по определению предела. Пусть \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\). Согласно определению предела это означает истинность такого утверждения:
Для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что для всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{\left|x_n\right|\lt\varepsilon}\).
Однако \(\displaystyle{|x_n| = \left| |x_n| \right|}\), поэтому утверждение №1 можно записать в таком виде:
Для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что для всех \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{\left| |x_n| \right|\lt\varepsilon}\).
Утверждение №2 означает, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left| x_n \right| = 0}\).
Так как утверждения №1 и №2 равносильны, то из равенства \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\) следует \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left| x_n \right| = 0}\) и наоборот.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №8 | Предел последовательности |
| Задача №9 |