Задача №1967
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}}\), \(\displaystyle{m\in{N}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\).
Решение
Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи 1958, т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}}\). Также применим такую формулу: \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1}\) (этот результат доказан в ходе решения той же задачи 1958.
Полагая, что \(\displaystyle{\alpha\neq{0}}\) и \(\displaystyle{\beta\neq{0}}\), получим:
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что полученные выше формулы верны и при \(\displaystyle{\alpha=0}\), \(\displaystyle{\beta=0}\).
Исходный предел преобразуем следующим образом:
Можно использовать и выделение главной части, как в предыдущем примере 1966.
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №453 |