Задача №1958

Условие

Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}}\), \(\displaystyle{n}\) – натуральное число.

Решение

Делаем замену переменной, полагая \(\displaystyle{u=\sqrt[n]{1+x}-1}\), откуда \(\displaystyle{x=(u+1)^n-1}\). Выясним, к чему стремится переменная \(\displaystyle{u}\) при условии \(\displaystyle{x\to{0}}\), т.е. найдём значение \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)}\). Для начала докажем вспомогательное неравенство \(\displaystyle{\alpha^n\le\alpha}\) при \(\displaystyle{\alpha\in(0;1)}\) и \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Доказательство вспомогательного неравенства

При \(\displaystyle{n=1}\) неравенство \(\displaystyle{\alpha^n\le\alpha}\) выполнено. Теперь рассмотрим случай \(\displaystyle{n\ge{2}}\).

Так как \(\displaystyle{0\lt\alpha\lt{1}}\), то возводя в (n-1)-ю степень все части данного неравенства, получим: \(\displaystyle{0\lt\alpha^{n-1}\lt{1}}\). Домножая все части последнего неравенства на \(\displaystyle{\alpha}\), будем иметь: \(\displaystyle{0\lt\alpha^{n}\lt\alpha}\).

Таким образом, каким бы ни было значение \(\displaystyle{n\in{N}}\), при \(\displaystyle{\alpha\in(0;1)}\) неравенство \(\displaystyle{\alpha^n\le\alpha}\) будет выполнено.

Пусть \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\) (\(\displaystyle{x\neq{0}}\)). Тогда при \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{0}}\) получим \(\displaystyle{1-|x|=1-(-x)=1+x}\). Согласно доказанному ранее имеем: \(\displaystyle{(1+x)^n\le{1+x}}\), т.е. \(\displaystyle{(1-|x|)^n\le{1+x}}\). Далее, \(\displaystyle{1+x\lt{1}\lt(1+|x|)^n}\). Таким образом, \(\displaystyle{(1-|x|)^n\le{1+x}\lt(1+|x|)^n}\). Аналогично, при \(\displaystyle{0\lt{x}\lt{1}}\) будем иметь \(\displaystyle{(1-|x|)^n\lt{1+x}\le(1+|x|)^n}\). Объединяя оба неравенства при условии \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\), получим: \(\displaystyle{(1-|x|)^n\le{1+x}\le(1+|x|)^n}\), откуда (ввиду положительности всех частей неравенства) следует \(\displaystyle{1-|x|\le\sqrt[n]{1+x}\le{1+|x|}}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(1-|x|\right)=1}\), \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(1+|x|\right)=1}\) и \(\displaystyle{1-|x|\le\sqrt[n]{1+x}\le{1+|x|}}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1}\). Отсюда имеем \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[n]{1+x}-1\right)=1-1=0}\). Переходя к новой переменной, будем иметь:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{(u+1)^n-1}=\lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u+C_{n}^{n}-1}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^n+C_{n}^{1}u^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1}u}= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{u\cdot\left(C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}\right)}=\\= \lim_{u\to{0}}\frac{u}{C_{n}^{0}u^{n-1}+C_{n}^{1}u^{n-2}+\ldots+C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{n}. \]

Есть и иной способ решения данного примера, – домножить на сопряжённое выражение, используя следующую формулу:

\[a^n-b^n=(a-b)\cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\]

Полагая \(\displaystyle{a=\sqrt[n]{1+x}}\) и \(\displaystyle{b=1}\) получим, что числитель и знаменатель дроби \(\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}}\) нужно домножить на выражение \(\displaystyle{\left(\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1\right)}\). После домножения, раскрытия скобок и упрощения получим, что

\[\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt[n]{(1+x)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-2}}+\sqrt[n]{(1+x)^{n-3}}+\ldots+\sqrt[n]{1+x}+1}\]

Переходя к пределу, получим тот же ответ, что и ранее.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{n}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №444