Задача №1989

Решение

В этом выражении был применён результат \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1}\). В принципе, при желании несложно доказать этот предел.

Можно доказать данный предел по определению. Докажем, что для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует такое \(\displaystyle{\delta\gt{0}}\), что из неравенства \(\displaystyle{0\lt|x|\lt\delta}\) (условие \(\displaystyle{0\lt|x|}\) означает, что \(\displaystyle{x\neq{0}}\)) следует неравенство \(\displaystyle{|\cos{x}-1|\lt\varepsilon}\). Так как \(\displaystyle{|\sin{x}|\lt|x|}\) при всех \(\displaystyle{x\neq{0}}\), то:

В преобразованиях учтён тот факт, что \(\displaystyle{x\neq{0}}\). Итак, для любого \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует значение \(\displaystyle{\delta=\sqrt{2\varepsilon}}\) такое, что из неравенства \(\displaystyle{0\lt|x|\lt\delta}\) следует неравенство \(\displaystyle{|\cos{x}-1|\lt\varepsilon}\). Следовательно, \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1}\).

Можно доказать и по-иному. Так как в любой проколотой окрестности нуля (т.е. окрестности нуля за исключением самой точки \(\displaystyle{x_0=0}\)) имеем \(\displaystyle{|\cos{x}-1|=2\left|\sin^2\frac{x}{2}\right|\lt|x|}\), то:

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(1-|x|)=1}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(1+|x|)=1}\), то \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1}\).