Решение
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}}\). Составим n-ю частичную сумму ряда:
\[
S_n
=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n
=\frac{2}{3\cdot {5}}+\frac{2}{5\cdot {7}}+\frac{2}{7\cdot {9}}+\frac{2}{9\cdot {11}}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}
\]
Почему я пишу именно \(\displaystyle{\frac{2}{3\cdot {5}}}\), а не \(\displaystyle{\frac{2}{15}}\), будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам нужно найти \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\), однако если мы просто запишем
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot {5}}+\frac{2}{5\cdot {7}}+\frac{2}{7\cdot {9}}+\frac{2}{9\cdot {11}}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right),
\]
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении рациональной дроби \(\displaystyle{\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}}\), которая представляет общий член ряда, на простейшие (элементарные) дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на простейшие посвящена отдельная тема (см., например, задачу №2 на этой странице). Разложим дробь \(\displaystyle{\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}}\) на простейшие дроби.
\[
\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}
=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}
\]
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
\[
2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)
\]
Чтобы найти значения \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) есть два стандартных пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо \(\displaystyle{n}\) некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этой задаче пойдём первым путём, а следующей – будем подставлять частные значения \(\displaystyle{n}\). Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
\[
2=2An+3A+2Bn+B;\\
2=(2A+2B)n+3A+B.
\]
Имеем равенство многочленов, исходя из которого получаем равенство коэффициентов при одинаковых степенях переменной:
\[
\left\{\begin{aligned}
& A+B=0;\\
& 3A+B=2.
\end{aligned}\right.
\]
Решая систему, получим \(\displaystyle{A=1}\), \(\displaystyle{B=-1}\). Это значит, что
\[
\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}
=\frac{1}{2n+1}+\frac{-1}{2n+3}
=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}
\]
Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.
Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.
Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}\). Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по данной формуле:
\[
\begin{aligned}
& u_1=\frac{2}{3\cdot 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5};\\
& u_2=\frac{2}{5\cdot 7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7};\\
& u_3=\frac{2}{7\cdot 9}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9};\\
& u_4=\frac{2}{9\cdot 11}=\frac{1}{9}-\frac{1}{11}.
\end{aligned}
\]
Давайте распишем частичную сумму, учитывая разложение каждого члена:
\[
S_n
=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n
=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}
\]
Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:
Итак, \(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}\). Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны "увидеть" (как любят писать некоторые авторы – "легко увидеть"), что слагаемые сокращаются. А если мы "увидим" не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.
Формулу \(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}\) можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции.
Доказательство формулы \(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}\)
Нам нужно доказать, что
\[
\begin{equation}
S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}
\tag{3.1}
\end{equation}
\]
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли равенство (3.1) при \(\displaystyle{n=1}\). Мы знаем, что \(\displaystyle{S_1=u_1=\frac{2}{15}}\), но даст ли выражение \(\displaystyle{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}\) значение \(\displaystyle{\frac{2}{15}}\), если подставить в него \(\displaystyle{n=1}\)? Проверим:
\[
\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot{1}+3}
=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}
=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}
\]
Итак, при \(\displaystyle{n=1}\) равенство (3.1) выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при \(\displaystyle{n=k}\) равенство (3.1) верно, т.е.
\[
\begin{equation}
S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}
\tag{3.2}
\end{equation}
\]
Докажем, что равенство (3.1) будет выполнено и при \(\displaystyle{n=k+1}\). Иными словами, требуется доказать, что
\[
\begin{equation}
S_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+5}
\tag{3.3}
\end{equation}
\]
Докажем (3.3). Мы знаем, что \(\displaystyle{S_{k+1}=S_k+u_{k+1}}\). Так как \(\displaystyle{u_{k+1}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2k+5}}\), то с учётом формулы (3.2) получим:
\[
S_{k+1}
=S_k+u_{k+1}
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2k+5}
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+5}
\]
Вывод: формула (3.1) верна при \(\displaystyle{n=k+1}\). Следовательно, согласно методу математической индукции, формула (3.1) истинна при любом \(\displaystyle{n\in {N}}\).
С моей точки зрения, в общем случае нельзя довольствоваться "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не приводя никаких строгих доказательств. Найдём \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\):
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)
=\frac{1}{3}-0
=\frac{1}{3}
\]
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его \(\displaystyle{S=\frac{1}{3}}\).
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. Вернёмся к записи общего члена ряда:
\[
u_n
=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}
=\frac{-1}{2n+3}-\frac{-1}{2n+1}
\]
Обозначим \(\displaystyle{b_n=\frac{-1}{2n+1}}\), тогда \(\displaystyle{b_{n+1}=\frac{-1}{2n+3}}\). Таким образом, \(\displaystyle{u_{n}=b_{n+1}-b_{n}}\). При этом \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=0}\). Согласно упомянутому свойству, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится, а его сумма равна \(\displaystyle{S=0-b_1=\frac{1}{3}}\). При желании можно записать и частичную сумму ряда:
\[
S_n
=b_{n+1}-b_1
=\frac{-1}{2n+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}
\]
Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ. Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
\]
Мы получили ранее, что \(\displaystyle{u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}}\), поэтому:
\[
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)
\]
Сумма \(\displaystyle{S_n}\) содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Сгруппируем сперва все слагаемые вида \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}}\), а затем слагаемые вида \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\):
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
\]
Теперь преобразуем выражения \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}}\) и \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\) к одному виду. Приведём, например, дробь \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\) к виду \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}}\). Выражение в знаменателе дроби \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\) я представлю в таком виде:
\[
\frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}
\]
И сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}}\) теперь можно записать так:
\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}
=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}
\]
Если равенство \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}}\) не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму?
У нас была сумма
\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}
\]
Вместо \(\displaystyle{k+1}\) введём новую переменную, – например, \(\displaystyle{t=k+1}\). Так как \(\displaystyle{1\le{k}\le{n}}\), то \(\displaystyle{2\le{k+1}\le{n+1}}\), т.е. \(\displaystyle{2\le{t}\le{n+1}}\). С новой переменной записанная выше сумма примет такой вид:
\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}
=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}
\]
Формально заменяя в выражении \(\displaystyle{\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}}\) букву \(\displaystyle{t}\) буквой \(\displaystyle{k}\), получим следующее:
\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}
\]
Частичную сумму теперь можно представить в таком виде:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}
\]
Заметьте, что суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}}\) отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми.
Начнём с первой суммы. Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен \(\displaystyle{n+1}\). Если \(\displaystyle{k=n+1}\), то \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2n+3}}\). Прибавляя и вычитая из первой суммы \(\displaystyle{\frac{1}{2n+3}}\), получим:
\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+3}
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}
\]
Для второй суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}}\) сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если \(\displaystyle{k=1}\), то \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}}\). Прибавляя и вычитая \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\), получим:
\[
\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}
=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}
\]
С учётом полученных результатов, выражение для \(\displaystyle{S_n}\) примет такой вид:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}\right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}
\]
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
\[
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}\right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}
\]
Напомню, что мы приводили дробь \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\) к виду \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}}\). Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь \(\displaystyle{\frac{1}{2k+1}}\) в виде \(\displaystyle{\frac{1}{2k+3}}\). Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти \(\displaystyle{S_n}\), если приводить к виду иной дроби?
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}
=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\
=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2n+3}-\left(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{3}\right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}.
\]
Итак, \(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}\). Находим предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\):
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)
=\frac{1}{3}-0
=\frac{1}{3}
\]
Заданный ряд сходится и сумма его \(\displaystyle{S=\frac{1}{3}}\).