Задача №2455

Решение

Это довольно известный интеграл – советую почитать про гамма-функцию. Однако мы не станем опираться на готовый результат, а сформулируем гипотезу, а затем её докажем. Обозначим заданный интеграл как \(\displaystyle{J_n}\), т.е.

Будем применять формулу интегрирования по частям в несобственном интеграле:

Найдём интеграл \(\displaystyle{J_1}\). Для этого интеграла будем иметь \(\displaystyle{u=x}\), \(\displaystyle{dv=e^{-x}dx}\), т.е. \(\displaystyle{v=-e^{-x}}\), откуда \(\displaystyle{u(0)v(0)=0}\). При этом мы учитываем, что \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=1}\), – этот результат легко получить непосредственным вычислением.

При вычислении предела мы использовали тот факт, что при любом \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0}\) (см. задачу 2454). Аналогично можно найти \(\displaystyle{J_2}\), \(\displaystyle{J_3}\) и \(\displaystyle{J_4}\):

Этот процесс подводит к мысли о том, что

Однако сформулированную гипотезу ещё нужно доказать. Доказательство проведём методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) гипотеза верна, т.е. \(\displaystyle{J_1=1!=1}\). Пусть доказываемая формула верна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{J_k=k!}\). Докажем, что формула будет истинна и при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем, что \(\displaystyle{J_{k+1}=(k+1)!}\). Будем применять всё ту же формулу интегрирования по частям:

Согласно методу математической индукции имеем \(\displaystyle{J_n=n!}\) при любых \(\displaystyle{n\in{N}}\).