Задача №2454

Решение

Обычно в таких задачах подразумевается, что \(\displaystyle{n\in{N}}\), однако в данной задаче напрямую это не указано, посему рассмотрим все случаи. Если \(\displaystyle{n\lt{0}}\), то \(\displaystyle{-n\gt{0}}\), посему \(\displaystyle{x^{-n}\to+\infty}\):

При \(\displaystyle{n=0}\) будем иметь

Пусть теперь \(\displaystyle{n\in{N}}\). Обозначим \(\displaystyle{J_n = \lim_{x\to{+\infty}}\left(x^n e^{-x}\right)}\) и рассмотрим несколько начальных значений \(\displaystyle{n}\):

Механизм нахождения предыдущих пределов приводит нас к логичной гипотезе: \(\displaystyle{J_n=0}\). Эту гипотезу легко доказать методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) гипотеза уже была проверена, т.е. \(\displaystyle{J_1=0}\). Пусть гипотеза верна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{J_k=0}\). Докажем истинность гипотезы при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем \(\displaystyle{J_{k+1}=0}\):

Следовательно, равенство \(\displaystyle{J_n=0}\) истинно при любом \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Нам остаётся рассмотреть последний случай положительных значений \(\displaystyle{n}\), не являющихся натуральными числами, т.е. \(\displaystyle{n\gt{0}}\), \(\displaystyle{n\notin{N}}\). Пусть \(\displaystyle{n}\) – одно из таких чисел. Согласно свойству Архимеда, каким бы ни было действительное число \(\displaystyle{n}\), найдётся такое натуральное число \(\displaystyle{k}\), что \(\displaystyle{k\gt{n}}\). Тогда при \(\displaystyle{x\gt{1}}\) получим \(\displaystyle{0\lt{x}^{n}\lt{x}^{k}}\), \(\displaystyle{0\lt\frac{x^n}{e^x}\lt\frac{x^{k}}{e^x}}\). Однако согласно доказанному ранее при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{\frac{x^{k}}{e^x}\to{0}}\), откуда получим \(\displaystyle{\frac{x^{n}}{e^n}\to{0}}\).

Следовательно, рассматриваемый предел равен 0 при любом действительном значении \(\displaystyle{n}\).