Задача №2451
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}}\) (\(\displaystyle{a\gt{0}}\), \(\displaystyle{b\gt{0}}\)).
Решение
В задаче 1918 был найден такой предел: \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\sqrt{ab}}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2}\right)^{n}
=\left[x=\frac{1}{n};\; x\to{0}.\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}
=\sqrt{ab}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{ab}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №555 |