Задача №1918
Условие
Найти предел функции: \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}}\); \(\displaystyle{a\gt{0}}\); \(\displaystyle{b\gt{0}}\).
Решение
Судя по ответу, в этом примере есть две опечатки условия: в основании степени должно стоять \(\displaystyle{b^x}\), а не \(\displaystyle{b^2}\), а в самой степени вместо \(\displaystyle{\frac{1}{x^2}}\) должно быть \(\displaystyle{\frac{1}{x}}\).
Рассмотрим один вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{a^x+b^x-2}{2x}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{a^x-1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{b^x-1}{x}\right)
=\frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b})
=\ln\sqrt{ab}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{a^x+b^x-2}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{a^x+b^x-2}{2}\right)^{\frac{2}{a^x+b^x-2}}\right)^{\frac{a^x+b^x-2}{2x}}
=e^{\ln\sqrt{ab }}
=\sqrt{ab}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{ab}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №38 | |
| Пункт №3 |