Задача №2450

Решение

Ряд, составленный из модулей членов заданного знакопеременного ряда, т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(1+\frac{2}{n}\right)^2}\), расходится. Это легко доказать признаком сравнения, сравнивая ряд из модулей с расходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\).

Для доказательства сходимости исходного ряда используем признак Абеля. Заданный ряд имеет вид \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n b_n}\), где \(\displaystyle{a_n=\left(1+\frac{2}{n}\right)^2}\), \(\displaystyle{b_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{\sqrt{n+1}}}\).

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n}\) сходится по признаку Дирихле (см. задачу 2449).

Для последовательности \(\displaystyle{\{a_n\}}\) выполнены два условия: \(\displaystyle{\left|a_n\right|\le{9}}\) и \(\displaystyle{a_{n+1}\lt{a_n}}\), т.е. последовательность \(\displaystyle{\{a_n\}}\) монотонна и ограниченна.

Из вышеизложенного следует, что заданный ряд сходится по признаку Абеля. Так как ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно.