Задача №2449

Условие

Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{\sqrt{n}}}\).

Решение

Ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\), расходится.

Для доказательства сходимости исходного ряда используем признак Дирихле. Заданный ряд имеет вид \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n b_n}\), где \(\displaystyle{a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}}\), \(\displaystyle{b_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}\).

Для последовательности \(\displaystyle{\{a_n\}}\) выполняются два условия: \(\displaystyle{a_{n+1}\lt{a_n}}\) и \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=0}\), т.е. \(\displaystyle{\{a_n\}}\) монотонно стремится к нулю.

Осталось показать, что частичные суммы ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n}\) ограничены, т.е. \(\displaystyle{\left|\sum\limits_{k=1}^{n}b_k \right|\le{M}}\). Докажем, что \(\displaystyle{\left|\sum\limits_{k=1}^{n}b_k \right|\le{1}}\).

Сперва отметим, что если количество слагаемых \(\displaystyle{n}\) – чётное число, то \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}b_k=0}\). Доказательство этого утверждения с помощью метода математической индукции находится в примечании.

Доказательство формулы \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{2t}b_k=0}\).

При \(\displaystyle{t=1}\) формула верна, что проверяется непосредственным вычислением:

\[ \sum\limits_{k=1}^{2}b_k =b_1 + b_2 =0 \]

Пусть доказываемая формула верна при \(\displaystyle{t=p}\), т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{2p}b_k=0}\). Докажем истинность формулы при \(\displaystyle{n=p+1}\), т.е. докажем, что \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{2(p+1)}b_k=0}\).

\[ \sum\limits_{k=1}^{2(p+1)}b_k =\sum\limits_{k=1}^{2p+2}b_k =\sum\limits_{k=1}^{2p}b_k + b_{2p+1}+b_{2p+2} =(-1)^{p(2p+1)} + (-1)^{(p+1)(2p+1)}=\\ =\left((-1)^{2p+1}\right)^{p} + \left((-1)^{2p+1}\right)^{p+1} =(-1)^p + (-1)^{p+1} =(-1)^p - (-1)^p =0 \]

Итак, согласно методу математической индукции формула \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{2t}b_k=0}\) верна при \(\displaystyle{t\in{N}}\).

Теперь рассмотрим случай, когда \(\displaystyle{n}\) – нечётное число, т.е. \(\displaystyle{n=2t-1}\):

\[ \sum\limits_{k=1}^{2t-1}b_k =\sum\limits_{k=1}^{2t-1}b_k + b_{2t} - b_{2t} =\sum\limits_{k=1}^{2t}b_k - b_{2t} = 0 - b_{2t} = - b_{2t} \]

Из полученного равенства следует, что \(\displaystyle{\left|\sum\limits_{k=1}^{2t-1}b_k \right|=\left|- b_{2t}\right|=1}\). Таким образом, мы доказали, что при любом количестве слагаемых (чётном или нечётном) верно неравенство \(\displaystyle{\left|\sum\limits_{k=1}^{n}b_k \right|\le{1}}\).

Следовательно, заданный знакопеременный ряд сходится по признаку Дирихле. Из расходимости ряда из модулей следует условная сходимость исходного ряда.

Ответ:

Ряд сходится условно.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №3	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2)
Параграф №15	Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды
Задача №4
Пункт №1