Задача №2440

Решение

Точного определения разбиения последовательности я не нашёл. Учитывая то, что последовательность есть множество упорядоченных пар \(\displaystyle{(n;a_n)}\), станем использовать обычное понятие разбиения множества.

Итак, сформулируем задачу. Пусть имеется ограниченная последовательность \(\displaystyle{X=\{a_n\}}\), т.е. \(\displaystyle{X=\left\{a_1, a_2, a_3, \ldots \right\}}\). Нам нужно представить множество \(\displaystyle{X}\) в виде

Здесь каждое из множеств \(\displaystyle{X_i}\) содержит бесконечное число членов последовательности \(\displaystyle{\{a_n\}}\), из которых можно сформировать последовательность \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)} \right\}}\). При этом \(\displaystyle{X_i\cap{X_j}=\varnothing}\), и все последовательности \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)} \right\}}\) должны иметь один и тот же предел.

Попробуем достичь поставленной цели. Для начала учтём, что согласно теореме Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Выделяя сходящуюся подпоследовательность из \(\displaystyle{X}\), получим последовательность \(\displaystyle{Y=\left\{a_{n_k}\right\}}\), \(\displaystyle{k\in{N}}\), которая сходится к числу \(\displaystyle{A}\).

Основная идея дальнейших рассуждений такова: попробуем "расслоить" \(\displaystyle{Y}\), сформировав из элементов \(\displaystyle{Y}\) (не обязательно будут задействованы все элементы) подпоследовательности. Так как последовательность \(\displaystyle{Y}\) сходится к \(\displaystyle{A}\), то и любая её подпоследовательность тоже будет сходиться к \(\displaystyle{A}\). Далее к каждой из этих подпоследовательностей докинем конечное количество элементов исходной последовательности \(\displaystyle{X}\). Предел, разумеется, от этого не изменится (см. задачу 2346).

Для достижения поставленной выше цели сформируем счётное множество, элементами которого будут подмножества множества \(\displaystyle{Y}\). Обозначим эти подмножества \(\displaystyle{B_1}\), \(\displaystyle{B_2}\) и так далее:

Не забываем, что в конечном итоге нам нужно получить разбиение множества \(\displaystyle{X}\), посему множества \(\displaystyle{B_i}\) будем изначально делать такими, чтобы они были попарно непересекающимися, т.е. \(\displaystyle{B_i \cap {B}_j = \varnothing}\). Для удобства дальнейших рассуждений потребуем, чтобы наименьшие номера \(\displaystyle{n_{(1;1)}}\), \(\displaystyle{n_{(2;1)}}\) и т.д. увеличивались с увеличением номера множества \(\displaystyle{B_i}\), т.е. \(\displaystyle{{n}_{(1;1)}\lt{n}_{(2;1)}\lt\ldots}\).

Можно придумать самые разнообразные варианты формирования требуемых множеств. Например, будем в множество \(\displaystyle{B_1}\) добавлять те элементы \(\displaystyle{Y}\), для которых \(\displaystyle{k}\) принимает значения \(\displaystyle{2^{1}3^{1}}\), \(\displaystyle{2^{1}3^{2}}\), \(\displaystyle{2^{1}3^{3}}\) и так далее. Соответственно, для \(\displaystyle{B_2}\) эти значения будут таковы: \(\displaystyle{2^{2}3^{1}}\), \(\displaystyle{2^{2}3^{2}}\), \(\displaystyle{2^{2}3^{3}}\) и т.д.:

Наименьшие номера элементов, входящих в множества \(\displaystyle{B_i}\), разбивают множество натуральных чисел \(\displaystyle{N}\) на непересекающиеся подмножества:

Любой номер \(\displaystyle{n\in{N}}\) будет или совпадать с неким номером \(\displaystyle{n_{2^{i}3^{1}}}\), или же входить в какой-то из интервалов.

В формировании множеств \(\displaystyle{B_i}\) принимает участие лишь часть элементов множества \(\displaystyle{X}\), а именно \(\displaystyle{B=\bigcup\limits_{i\in{N}}B_i}\). Оставшиеся элементы множества \(\displaystyle{X}\) образуют множество \(\displaystyle{C=X\setminus{B}}\). Таким образом, \(\displaystyle{X=B\cup{C}}\), где \(\displaystyle{C\cap{B}=\varnothing}\). Разобъём множество \(\displaystyle{C}\) на части, которые используем впоследствии. В множество \(\displaystyle{C_1}\) закинем те элементы \(\displaystyle{a_n\in{C}}\), номера которых принадлежат промежутку \(\displaystyle{\left[1;n_{2^{1}3^{1}}\right)}\); в множество \(\displaystyle{C_2}\) поместим такие элементы \(\displaystyle{a_n\in{C}}\), номера которых принадлежат интервалу \(\displaystyle{\left(n_{2^{1}3^{1}};n_{2^{2}3^{1}}\right)}\) и т.д.:

Для рассматриваемых множеств \(\displaystyle{C_i}\) имеем \(\displaystyle{C=\bigcup\limits_{i\in{N}}C_i}\), \(\displaystyle{C_i \cap {C}_j = \varnothing}\). Отметим, что согласно построению данных множеств, имеем \(\displaystyle{C_i \cap {B}_j = \varnothing}\).

Теперь создадим множества \(\displaystyle{X_i}\). Будем формировать их таким образом: \(\displaystyle{X_i=C_i\cup{B_i}}\). Что мы можем сказать про множества \(\displaystyle{X_i}\)? Во-первых, эти множества попарно непересекающиеся:

Во-вторых, объединение этих множеств есть множество \(\displaystyle{X}\):

Иными словами, полученные нами множества \(\displaystyle{X_i}\) удовлетворяют части требований, сформулированных в начале решения задачи. Остался лишь один нюанс: показать, что из элементов каждого множества \(\displaystyle{X_i}\) можно сформировать последовательность \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)}\right\}}\), причём все сформированные таким образом последовательности сходятся к одному числу.

Мы помним, что \(\displaystyle{X_i=C_i\cup{B_i}}\), причём множество \(\displaystyle{C_i}\) конечно, а множество \(\displaystyle{B_i}\) счётно. Пусть, для определённости, в множестве \(\displaystyle{C_i}\) содержится \(\displaystyle{p}\) элементов. Тогда первые \(\displaystyle{p}\) элементов последовательности \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)}\right\}}\) будут совпадать с элементами множества \(\displaystyle{C_i}\). Остальные элементы искомой последовательности будут получены из множества \(\displaystyle{B_i}\) в порядке возрастания номеров:

Последовательность \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)}\right\}}\), где \(\displaystyle{k\gt{p}}\), является подпоследовательностью последовательности \(\displaystyle{Y}\), а значит имеет своим пределом число \(\displaystyle{A}\). Это значит, что и сама последовательность \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)}\right\}}\), \(\displaystyle{k\in{N}}\), сходится к \(\displaystyle{A}\), так как добавление или отбрасывание конечного числа элементов последовательности не влияет на её сходимость.

Таким образом, все построенные по изложенному выше принципу последовательности \(\displaystyle{\left\{x_{k}^{(i)}\right\}}\) имеют один и тот же предел.