Задача №2439
Условие
Доказать, что для любых матриц \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\) второго порядка выполнено соотношение \(\displaystyle{\left[\left([A,B]\right)^2,C\right]=O}\).
Решение
Мы знаем (см. задачу 2438), что \(\displaystyle{\tr([A,B])=0}\). Это значит, что матрица \(\displaystyle{D=[A,B]}\) имеет такой вид:
\[
D
= \left(\begin{array} {cc} k & d_{12} \\ d_{21} & -k \end{array}\right)
\]
Находя матрицу \(\displaystyle{D^2}\) непосредственым умножением \(\displaystyle{D\cdot{D}}\) получаем, что
\[
D^2 = pE,
\; p=k^2+d_{12}d_{21}.
\]
Таким образом, для исходного выражения \(\displaystyle{\left[\left([A,B]\right)^2,C\right]}\) будем иметь:
\[
\left[\left([A,B]\right)^2,C\right]
=\left[D^2,C\right]
=\left[pE,C\right]
=pE\cdot{C} - C\cdot{pE}
=pC-pC
=O
\]
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №8 | Ким, Крицков "Алгебра и аналитическая геометрия" (том №1) |
| Параграф №1 | Операции над матрицами |
| Задача №46 |