Задача №2438
Условие
Доказать, что для любых квадратных матриц \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) одинакового размера их коммутатор \(\displaystyle{[A,B]}\) имеет нулевой след.
Решение
В задаче 2437 было доказано, что \(\displaystyle{\tr(AB)=\tr(BA)}\) (при условии, что матрицы \(\displaystyle{AB}\) и \(\displaystyle{BA}\) определены).
\[
\tr\left([A,B]\right)
= \tr\left( AB - BA\right)
= \tr(AB) - \tr(BA)
= 0
\]
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №8 | Ким, Крицков "Алгебра и аналитическая геометрия" (том №1) |
| Параграф №1 | Операции над матрицами |
| Задача №37 |