Задача №2437

Решение

Так как определено произведение \(\displaystyle{AB}\), то количество столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) равно числу строк матрицы \(\displaystyle{B}\), т.е. имеем матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) и \(\displaystyle{B_{n\times{k}}}\). С другой стороны, определено и произведение матриц \(\displaystyle{BA}\), посему количество столбцов матрицы \(\displaystyle{B}\) равно числу строк матрицы \(\displaystyle{A}\), т.е. \(\displaystyle{k=m}\). Итак, мы имеем две матрицы: \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) и \(\displaystyle{B_{n\times{m}}}\).

Обозначим \(\displaystyle{A_{m\times{n}}\cdot {B}_{n\times{m}} = C_{m\times{m}}}\) и \(\displaystyle{B_{n\times{m}}\cdot{A}_{m\times{n}} = D_{n\times{n}}}\). Так как \(\displaystyle{c_{ii}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}}\) и \(\displaystyle{d_{jj}=\sum\limits_{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}}\), то получим:

В доказательстве был использован тот факт, что \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}p_{ij} = \sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{m}p_{ij}}\).