Задача №2430
Условие
Исследовать на сходимость интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}+\arctg{x}}}\).
Решение
Подынтегральная функция: \(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\arctg{x}}}\). При \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{\sqrt{x}\gt{0}}\) и \(\displaystyle{\arctg{x}\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\), откуда получим
\[
0\lt{f(x)}\lt\frac{1}{\sqrt{x}}
\]
Интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}}\) сходится (см. задачу 2379), поэтому будет сходиться и интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}f(x)dx}\).
Ответ:
Интеграл сходится.
Источники задачи
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №11 | Несобственные интегралы от неограниченных функций |
| Задача №70 |