Задача №2429
Условие
Дано \(\displaystyle{y=x^2}\). Когда \(\displaystyle{x\to{2}}\), то \(\displaystyle{y\to{4}}\). Каково должно быть \(\displaystyle{\delta}\), чтобы из \(\displaystyle{|x-2|\lt\delta}\) следовало \(\displaystyle{|y-4|\lt\varepsilon=0{,}001}\)?
Решение
Для полноты картины советую глянуть задачу 2428.
\[
|y-4|\lt{0{,}001}
\Leftrightarrow
{-0{,}001}\lt{y-4}\lt{0{,}001}
\Leftrightarrow
3{,}999\lt{x^2}\lt{4{,}001}
\Leftarrow\\
\Leftarrow
\sqrt{3{,}999}\lt{x}\lt\sqrt{4{,}001}
\Leftrightarrow
\sqrt{3{,}999}-2\lt{x-2}\lt\sqrt{4{,}001}-2
\Leftarrow
|x-2|\lt\sqrt{4{,}001}-2
\]
Таким образом, принимая в качестве \(\displaystyle{\delta}\) произвольное значение, удовлетворяющее неравенству \(\displaystyle{0\lt\delta\le\sqrt{4{,}001}-2}\), получим, что из неравенства \(\displaystyle{|x-2|\lt\delta}\) следует \(\displaystyle{|y-4|\lt{0{,}001}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{0\lt\delta\le\sqrt{4{,}001}-2}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №1 | Основные определения |
| Задача №190 |
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №1 | |
| Пункт №1 |