Задача №2389
Условие
Пусть \(\displaystyle{|q|\lt{1}}\), \(\displaystyle{S_n = \sum\limits_{k=0}^{n}aq^k}\). Доказать, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{a}{1-q}}\).
Решение
Согласно результатам задачи 2388, если \(\displaystyle{|q|\lt{1}}\), то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}q^n = 0}\).
\[
S_n
= \sum\limits_{k=0}^{n}aq^k = a\sum_{k=0}^{n}q^k = a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a}{1-q}\cdot\left(1-q^n\right)\right)
= \frac{a}{1-q}\cdot(1-0)
= \frac{a}{1-q}
\]
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №8 | Предел последовательности |
| Задача №41 |