Задача №2344
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(\displaystyle{n}\) от функции \(\displaystyle{y=\frac{x}{x^2-1}}\).
Решение
Разложим дробь \(\displaystyle{\frac{x}{x^2-1}}\) на элементарные дроби:
\[
\frac{x}{x^2-1}
=\frac{x}{(x-1)(x+1)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}
=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}
\]
\[
x=A(x+1)+B(x-1)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=-1\;\Rightarrow\; -1=-2B;\;B=\frac{1}{2}.\\
& x=1\;\Rightarrow\; 1=2A;\;A=\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
\[
\frac{x}{x^2-1}
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}
\]
В задаче 1206 была получена такая формула:
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}
\]
Применяя данную формулу, будем иметь:
\[
y^{(n)}
=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x+1}\right)^{(n)}=\\
=\frac{1}{2}\cdot\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} + \frac{1}{2}\cdot\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}
=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{2}\cdot\left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}} + \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y^{(n)}=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{2}\cdot\left(\frac{1}{(x-1)^{n+1}} + \frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №3 | Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №5 | Повторное дифференцирование |
| Задача №1038 |