Задача №1206

Решение

Случай \(\displaystyle{a=0}\) рассматривается элементарно. Пусть \(\displaystyle{a\neq{0}}\).

Исходя из полученных результатов, можно предположить, что выражение для \(\displaystyle{y^{(n)}}\) будет таким:

Докажем это методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) равенство верно. Пусть оно верно и при \(\displaystyle{n=k}\), т.е. \(\displaystyle{y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{a^k}\cdot(ax+b)^{-k-1}}\). Проверим выполнение равенства при \(\displaystyle{n=k+1}\):

Равенство истинно при \(\displaystyle{n=k+1}\), поэтому согласно методу математической индукции, формула \(\displaystyle{y^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}}\) верна при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).