Задача №2341

Решение

Согласно условию, последовательность \(\displaystyle{\{x_n\}}\) сходится, причём \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n=a}\). Это значит, что для любого значения \(\displaystyle{\varepsilon\gt{0}}\) существует номер \(\displaystyle{n_{\varepsilon}}\) такой, что для всех номеров \(\displaystyle{n\ge{n_{\varepsilon}}}\) истинно неравенство \(\displaystyle{\left|x_n - a\right|\lt\varepsilon}\).

Используя неравенство из задачи 2340 можем записать, что

Таким образом, из выполнения неравенства \(\displaystyle{\left|x_n - a\right|\lt\varepsilon}\) незамедлительно следует истинность неравенства \(\displaystyle{\left||x_n| - |a|\right|\lt\varepsilon}\). А это означает, что последовательность \(\displaystyle{\left\{|x_n|\right\}}\) сходится, причём \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|}\).