Задача №2340
Условие
Доказать неравенство \(\displaystyle{|x-y|\ge\left||x|-|y|\right|}\).
Решение
Начнём с очевидного неравенства: \(\displaystyle{|z|\ge{z}}\) при любом \(\displaystyle{z\in{R}}\). Это неравенство легко доказать, рассматривая два случая: \(\displaystyle{z\ge{0}}\) и \(\displaystyle{z\lt{0}}\).
Принимая \(\displaystyle{z=xy}\), где \(\displaystyle{x\in{R}}\), \(\displaystyle{y\in{R}}\), составим цепочку равносильных преобразований. Учтём, что \(\displaystyle{a^2=|a|^2}\) и \(\displaystyle{\sqrt{a^2}=|a|}\) при любом \(\displaystyle{a\in{R}}\).
\[
|xy|\ge{xy}\;\Leftrightarrow\;
-2xy\ge{-2|xy|}\;\Leftrightarrow\;
x^2-2xy+y^2\ge{x^2 - 2|xy| + y^2}\;\Leftrightarrow\;\\
\Leftrightarrow\;\left(x-y\right)^2\ge\left(|x|-|y|\right)^2\;\Leftrightarrow\;
\sqrt{\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\left(|x|-|y|\right)^2}\;\Leftrightarrow\;
|x-y|\ge\left||x|-|y|\right|
\]
Ответ:
Неравенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №21 | |
| Пункт №1 |