Задача №2057

Решение

Обозначим \(\displaystyle{x_n=\frac{a^n}{n!}}\). Если \(\displaystyle{a=0}\), то \(\displaystyle{x_n = 0}\), откуда незамедлительно следует равенство нулю рассматриваемого предела.

Остаётся два случая: \(\displaystyle{a\lt{0}}\) и \(\displaystyle{a\gt{0}}\). Чтобы не рассматривать их по отдельности, введём последовательность \(\displaystyle{y_n = \left|x_n\right| = \frac{|a|^n}{n!}}\), где \(\displaystyle{|a|\gt{0}}\). Докажем, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}y_n = 0}\), откуда сразу воспоследует равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\). Здесь мы будем использовать свойство, доказанное в задаче 2339: если \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right| = 0}\), то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\).

Первый способ

Очевидно, что \(\displaystyle{y_n\gt{0}}\), т.е. последовательность \(\displaystyle{\left\{y_n\right\}}\) ограничена снизу. Далее, так как \(\displaystyle{y_{n+1}=\frac{|a|}{n+1}\cdot{y_n}}\), то получим:

Согласно аксиоме Архимеда (см., например, Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том №1) существует номер \(\displaystyle{n_0}\), для которого имеем \(\displaystyle{n_0\gt|a|}\). Это значит, что для всех номеров \(\displaystyle{n\ge{n_0}}\) получим \(\displaystyle{\frac{|a|}{n+1}\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{|a|}{n+1} - 1\lt{0}}\). Следовательно, \(\displaystyle{y_{n+1}-y_{n}\lt{0}}\), \(\displaystyle{y_n\gt{y_{n+1}}}\). Последовательность \(\displaystyle{\left\{y_n\right\}}\) убывает и ограничена снизу, а значит согласно теореме Вейерштрасса имеет конечный предел.

Обозначим этот предел как \(\displaystyle{b}\). Отметим, что последовательность \(\displaystyle{\left\{y_{n+1}\right\}}\) является подпоследовательностью последовательности \(\displaystyle{\left\{y_n\right\}}\), а значит имеет своим пределом то же число \(\displaystyle{b}\). Переходя к пределу в равенстве \(\displaystyle{y_{n+1}=\frac{|a|}{n+1}\cdot{y_n}}\) и учитывая \(\displaystyle{\frac{|a|}{n+1}\to{0}}\), получим:

Следовательно, \(\displaystyle{y_n\to{0}}\), откуда имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\).

Второй способ

Согласно аксиоме Архимеда для любого действительного значения \(\displaystyle{|a|\gt{0}}\) существует число \(\displaystyle{m\in{N}}\) такое, что \(\displaystyle{m\gt|a|}\), откуда имеем \(\displaystyle{\frac{|a|}{m}\lt{1}}\).

Тогда для любого натурального \(\displaystyle{n\gt{m}}\) получим:

Так как все дроби в произведении \(\displaystyle{\prod_{i = m+1}^{n}\frac{|a|}{i}}\) положительны и меньше единицы, то получим:

Так как при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{y_n\gt{0}}\), то для всех значений \(\displaystyle{n\gt{m}}\) получим:

Рассмотрим предел в правой части данного неравенства:

Следовательно, согласно теореме о предельном переходе в двойном неравенстве, имеем \(\displaystyle{y_n\to{0}}\), откуда следует \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = 0}\).