Задача №1900
Условие
Найти следующую сумму:
\[x^n+2x^{n-1}+\ldots+(n-1)x^2+nx\]
Решение
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу №1 из пункта №1 (см. задачу 1897) при условии \(\displaystyle{x\neq{1}}\):
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}(n+1-i)x^{i}
=(n+1)\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}
=\ldots
\]
Если же \(\displaystyle{x=1}\), то мы получим сумму первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
\[
1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}
\]
Ответ:
Сумма найдена.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №7 | |
| Пункт №4 |