Задача №1899
Условие
Найти следующую сумму:
\[1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n\]
Решение
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу №1 из пункта №1 (см. задачу 1897) при условии \(\displaystyle{x\neq{1}}\):
\[
1+\sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)x^{i}
=1+\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}
=\ldots
\]
Если же \(\displaystyle{x=1}\), то мы получим сумму первых \(\displaystyle{n+1}\) членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
\[
1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}
\]
Ответ:
Сумма найдена.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №7 | |
| Пункт №3 |