Задача №1898
Условие
Найти следующую сумму:
\[\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\ldots+\frac{2n-1}{2^n}\]
Решение
С учётом формулы №2 из предыдущего пункта (см. задачу 1897) решение данного пункта тривиально. Разбиваем сумму на две и применяем готовые формулы:
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^i}
=2\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}-\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i
=\ldots
\]
Ответ:
Сумма найдена.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №7 | |
| Пункт №2 |