Задача №1785
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}}\). Данный ряд расходится (см. 1738). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0;\;\frac{1}{\ln(n+1)}\gt\frac{1}{\ln(n+2)}.
\]
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}}\) сходится условно.
Ответ:
Ряд сходится условно.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2792 |