Задача №1738

Решение

Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x-\ln(x+1)}\) при условии \(\displaystyle{x\ge{1}}\). Так как \(\displaystyle{f'(x)=\frac{x}{x+1}\gt{0}}\) и \(\displaystyle{f(1)=1-\ln{2}\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\ge{1}}\) верно неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\). Иными словами, при всех \(\displaystyle{x\ge{1}}\) имеем \(\displaystyle{x\gt\ln(x+1)}\). Это означает, что при \(\displaystyle{n\in{N}}\) верно неравенство \(\displaystyle{n\gt\ln(n+1)}\). Следовательно, \(\displaystyle{\frac{1}{n}\lt\frac{1}{\ln(n+1)}}\).

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}}\).