Задача №1638
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{\arcsin{x}dx}{x^2}}\).
Решение
В ходе решения мы придём к интегралу \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}}\). Найти этот интеграл можно по-разному. Можно, например, как в задаче 1455 применить подстановку \(\displaystyle{x=\frac{1}{t}}\). Однако для разнообразия применим подстановку \(\displaystyle{x=\sin{t}}\), где \(\displaystyle{t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)}\). При этом \(\displaystyle{\cos{t}\gt{0}}\), поэтому в решении будет использована формула \(\displaystyle{\sqrt{1-\sin^2{t}}=\cos{t}}\).
\[
\begin{aligned}
& \int\frac{\arcsin{x}dx}{x^2}
=\left[\begin{aligned}
& u=\arcsin{x};\;du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\\
& dv=\frac{dx}{x^2};\;v=-\frac{1}{x}.
\end{aligned}\right]
=-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}
=\left[x=\sin{t}\right]=\\
& =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{\cos{t}dt}{\sin{t}\cos{t}}
=-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\int\frac{dt}{\sin{t}}
=-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\tg\frac{t}{2}\right|+C=\\
& =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\cos{t}}{\sin{t}}\right|+C
=-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-\sin^2{t}}}{\sin{t}}\right|+C=\\
& =-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|+C
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{\arcsin{x}}{x^2}+\ln\left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2187 |