Задача №1455

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}}\).

Решение

Рассмотрим подстановку \(\displaystyle{x=\frac{1}{t}}\). В принципе, нужно рассмотреть эту подстановку для двух случаев: \(\displaystyle{t\gt{0}}\) и \(\displaystyle{t\lt{0}}\), однако оба эти случая легко свести в одну запись с помощью функции знака \(\displaystyle{\sgn{t}}\). Для демонстрации ниже я разберу решение для двух случаев по отдельности: \(\displaystyle{t\lt{0}}\) и \(\displaystyle{t\gt{0}}\), однако пока что полагаем просто \(\displaystyle{t\neq{0}}\).

Так как \(\displaystyle{dx=-\frac{dt}{t^2}}\), то получим:

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =-\int\frac{dt}{t\cdot\frac{\sqrt{1+t^2}}{|t|}} =-\sgn{t}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =-\int\frac{d(|t|)}{\sqrt{|t|^2+1}} =-\ln\left||t|+\sqrt{|t|^2+1}\right|+C =-\ln\left|\frac{1}{|x|}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C \]

Теперь рассмотрим случай применения подстановки \(\displaystyle{x=\frac{1}{t}}\) сначала для \(\displaystyle{t\gt{0}}\), а потом при \(\displaystyle{t\lt{0}}\). Итак, если \(\displaystyle{t\gt{0}}\), то получим:

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\left|\begin{aligned}& x=\frac{1}{t}.\\& dx=-\frac{dt}{t^2}.\end{aligned}\right| =\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =-\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =-\ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+C =-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}+C \]

Для случая \(\displaystyle{t\lt{0}}\) будем иметь:

\[ \ldots=\int\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{-t\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{\sqrt{t^2}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}} =\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\\ =\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right|+C =\ln\left|\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right|+C =\ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C=\\ =\ln\left|\frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C =\ln\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|+C =\ln\left|\frac{\left(1-\sqrt{1+x^2}\right)\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}{x\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}\right|+C=\\ =\ln\left|\frac{x^2}{x\cdot\left(1+\sqrt{1+x^2}\right)}\right|+C =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C \]

Так как при \(\displaystyle{x>0}\) имеем \(\displaystyle{|x|=x}\), то оба ответа легко записать в один:

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C \]

К слову, рассмотренная выше подстановка – не единственный вариант решения. Можно было положить \(\displaystyle{t=\sqrt{x^2+1}}\), тогда исходя из \(\displaystyle{t^2=x^2+1}\) получили бы \(\displaystyle{xdx=tdt}\).

\[ \int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{xdx}{x^2\sqrt{1+x^2}} =\int\frac{dt}{t^2-1} =\ldots \]

Можно было использовать и подстановку \(\displaystyle{x=\tg{t}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\ln\frac{|x|}{1+\sqrt{1+x^2}}+C}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №6	Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление
Параграф №2	Основные методы интегрирования
Задача №1898