Задача №1628
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\sqrt{x^2-2x-1}dx}\).
Решение
В ходе решения этой задачи будем использовать такой интеграл:
\[
\int\sqrt{x^2+k}dx
=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C
\]
Этот интеграл был рассмотрен в задаче 1695.
\[
\int\sqrt{x^2-2x-1}dx
=\int\sqrt{(x-1)^2-2}dx
=\left[z=x-1\right]
=\int\sqrt{z^2-2}dz=\\
=\frac{1}{2}z\sqrt{z^2-2}-\ln\left|z+\sqrt{z^2-2}\right|+C
=\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2158 |