Задача №1695

Условие

Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и её хордой, проведённой из фокуса перпендикулярно к действительной оси.

Решение

В ходе решения этой задачи, а также некоторых последующих задач, нам потребуется находить интеграл от функции вида \(\displaystyle{\sqrt{x^2+k}}\), где \(\displaystyle{k\neq{0}}\). Рассмотрим этот интеграл отдельно:

\[ \int\sqrt{x^2+k}dx =\left[\begin{aligned} & u=\sqrt{x^2+k};\;du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+k}};\\ & dv=dx;\;v=x. \end{aligned}\right] =x\sqrt{x^2+k}-\int\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+k}}=\\ =x\sqrt{x^2+k}-\int\frac{x^2+k-k}{\sqrt{x^2+k}}dx =x\sqrt{x^2+k}-\int\sqrt{x^2+k}+k\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\\ =x\sqrt{x^2+k}-\int\sqrt{x^2+k}+k\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|. \]

\[ \int\sqrt{x^2+k}dx =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C \]

Вернёмся к текущей задаче. Каноническое уравнение гиперболы: \(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\). Правый фокус имеет координаты \(\displaystyle{(c;0)}\), где \(\displaystyle{c=\sqrt{a^2+b^2}}\). Проведём прямую \(\displaystyle{x=c}\) из правого фокуса гиперболы. Так как гипербола симметрична относительно оси абсцисс, то искомая площадь \(\displaystyle{S=2S_1}\), где \(\displaystyle{S_1}\) – площадь области, расположенной над осью абсцисс. Уравнение части гиперболы, расположенной над осью абсцисс, таково: \(\displaystyle{y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}\).

\[ S= 2\cdot\frac{b}{a}\int\limits_{a}^{c}\sqrt{x^2-a^2}dx =\frac{b}{a}\cdot\left.\left(x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|\right)\right|_{a}^{c}=\\ =\frac{b}{a}\cdot\left(c\sqrt{c^2-a^2}-a^2\ln\left|c+\sqrt{c^2-a^2}\right|+a^2\ln{a}\right)=\\ =\frac{b}{a}\cdot\left(cb-a^2\ln\frac{c+\sqrt{c^2-a^2}}{a}\right) =b\cdot\left(\varepsilon{b}-a\ln\left(\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2-1}\right)\right) \]

Здесь \(\displaystyle{\varepsilon=\frac{c}{a}}\) – эксцентриситет гиперболы.

Ответ:

\(\displaystyle{b\cdot\left(\varepsilon{b}-a\ln\left(\varepsilon+\sqrt{\varepsilon^2-1}\right)\right)}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №8	Применения интеграла
Параграф №1	Некоторые задачи геометрии и статики
Задача №2464