Задача №1607
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)^4}}\).
Решение
Будем использовать те же обозначения и формулы, что и в примере 1606.
\[
J_{4}=\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}\cdot{J_3}=\\
=\frac{x}{6a^2\left(x^2+a^2\right)^3}+\frac{5x}{24a^4\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{5x}{16a^6\left(x^2+a^2\right)}+\frac{5}{16a^7}\arctg\frac{x}{a}+C
\]
Подставляя в записанную выше формулу значение \(\displaystyle{a=1}\), получим искомый интеграл:
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)^4}
=\frac{x}{6\left(x^2+1\right)^3}+\frac{5x}{24\left(x^2+1\right)^2}+\frac{5x}{16\left(x^2+1\right)}+\frac{5}{16}\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x}{6\left(x^2+1\right)^3}+\frac{5x}{24\left(x^2+1\right)^2}+\frac{5x}{16\left(x^2+1\right)}+\frac{5}{16}\arctg{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2054 |