Задача №1606
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\left(x^2+9\right)^3}}\).
Решение
Обозначим \(\displaystyle{J_n=\int\frac{dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}}\). При \(\displaystyle{n=1}\) получим:
\[
J_1=\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C
\]
Будем использовать следующую рекуррентную формулу:
\[
J_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}\cdot{J_n}
\]
Данный интеграл подробно рассмотрен в книге Г.М. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, стр. 35).
С учётом данной формулы, получим:
\[
\begin{aligned}
& J_2=\frac{1}{2a^2}\cdot\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^2}\cdot{J_1}
=\frac{x}{2a^2\left(x^2+a^2\right)}+\frac{1}{2a^3}\arctg\frac{x}{a}+C;\\
& J_3=\frac{1}{4a^2}\cdot\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{3}{4a^2}\cdot{J_2}
=\frac{x}{4a^2\left(x^2+a^2\right)^2}+\frac{3x}{8a^4\left(x^2+a^2\right)}+\frac{3}{8a^5}\arctg\frac{x}{a}+C.
\end{aligned}
\]
Подставляя в последнюю формулу значение \(\displaystyle{a=3}\), получим искомый интеграл:
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+9\right)^3}
=\frac{x}{36\left(x^2+9\right)^2}+\frac{x}{216\left(x^2+9\right)}+\frac{1}{648}\arctg\frac{x}{3}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{x}{36\left(x^2+9\right)^2}+\frac{x}{216\left(x^2+9\right)}+\frac{1}{648}\arctg\frac{x}{3}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №3 | Основные классы интегрируемых функций |
| Задача №2052 |