Задача №1213
Условие
Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=\left(x^2-2x\right)\ln{x}-\frac{3}{2}x^2+4x}\).
Решение
Область определения: \(\displaystyle{D(y)=(0;+\infty)}\).
\[
y'
=(2x-2)\ln{x}+\left(x^2-2x\right)\cdot\frac{1}{x}-3x+4=\\
=(2x-2)\ln{x}-2x+2
=2(x-1)(\ln{x}-1)
\]
\[
2(x-1)(\ln{x}-1)=0;\\
x=1;\;x=e.
\]
В принципе, характер экстремума можно выяснить, исследуя знак производной первого порядка, как это сделано в задаче 1214. Однако сугубо для разнообразия, пойдём иным путём - определим знак производной второго порядка в каждой стационарной точке.
\[
y''
=2\cdot\left((x-1)(\ln{x}-1)\right)'
=2\cdot\left(\ln{x}-1+(x-1)\cdot\frac{1}{x}\right)
=2\cdot\left(\ln{x}-\frac{1}{x}\right)
\]
Так как \(\displaystyle{y''(1)=-2\lt{0}}\), то \(\displaystyle{x=1}\) – точка максимума. Так как \(\displaystyle{y''(e)=2-\frac{2}{e}\gt{0}}\), то \(\displaystyle{x=e}\) – точка минимума.
\[
\begin{aligned}
& y_{\min}=y(e)=2e-\frac{e^2}{2};\\
& y_{\max}=y(1)=\frac{5}{2}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y_{\min}=2e-\frac{e^2}{2}}\); \(\displaystyle{y_{\max}=\frac{5}{2}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №2 | Применение первой производной |
| Задача №1178 |