Задача №1214
Условие
Найти экстремумы функции \(\displaystyle{y=\frac{1}{2}\arctg{x}-\frac{\pi}{8}x^2-\frac{x-1}{2}}\).
Решение
Данная функция определена при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\).
\[
y'
=x\arctg{x}+\frac{1}{2}-\frac{\pi{x}}{4}-\frac{1}{2}
=x\left(\arctg{x}-\frac{\pi}{4}\right).
\]
\[
x\left(\arctg{x}-\frac{\pi}{4}\right)=0;\\
x=0;\;x=1.
\]
Так как при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) имеем \(\displaystyle{y'\gt{0}}\), при \(\displaystyle{0\lt{x}\lt{1}}\) имеем \(\displaystyle{y'\lt{0}}\), а при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) имеем \(\displaystyle{y'\gt{0}}\), то \(\displaystyle{x=0}\) – точка максимума, \(\displaystyle{x=1}\) – точка минимума.
\[
\begin{aligned}
& y_{\min}=y(1)=\frac{\pi}{8};\\
& y_{\max}=y(0)=\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y_{\min}=\frac{\pi}{8}}\); \(\displaystyle{y_{\max}=\frac{1}{2}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №4 | Исследование функций и их графиков |
| Параграф №2 | Применение первой производной |
| Задача №1179 |