Задача №1208
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(\displaystyle{n}\) от функции \(\displaystyle{y=\log_{a}x}\).
Решение
В задаче 1207 была получена такая формула:
\[
\left(\ln(ax+b)\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
Подставляя в данную формулу \(\displaystyle{a=1}\), \(\displaystyle{b=0}\), получим:
\[
\left(\ln{x}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n}
\]
С учётом вышеизложенного, для функции \(\displaystyle{y=\log_{a}x}\) будем иметь:
\[
y^{(n)}
=\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)^{(n)}
=\frac{1}{\ln{a}}\cdot\left(\ln{x}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n}}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №3 | Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №5 | Повторное дифференцирование |
| Задача №1037 |