Задача №1207
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(\displaystyle{n}\) от функции \(\displaystyle{y=\ln(ax+b)}\).
Решение
\[
y'=a\cdot\frac{1}{ax+b}
\]
Дифференцируя обе части данного равенства, имеем:
\[
\left(y'\right)^{(n-1)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)};\;
y^{(n)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}.
\]
В задаче 1206 была получена такая формула:
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}
\]
Исходя из данной формулы, имеем:
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n-1} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
С учётом данной формулы, получим:
\[
y^{(n)}
=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}
=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №3 | Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №5 | Повторное дифференцирование |
| Задача №1036 |