Задача №1113
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{2x-\arcsin{x}}{2x+\arctg{x}}}\).
Решение
Используя формулы \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1}\), \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1}\), доказанные в примере №1 темы про первый замечательный предел, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{2x-\arcsin{x}}{2x+\arctg{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{2-\frac{\arcsin{x}}{x}}{2+\frac{\arctg{x}}{x}}
=\frac{2-1}{2+1}
=\frac{1}{3}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{3}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №320 |