Задача №2466
Условие
Убедиться в том, что при \(\displaystyle{x\to{1}}\) бесконечно малые величины \(\displaystyle{1-x}\) и \(\displaystyle{1-\sqrt[3]{x}}\) будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентными?
Решение
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{1}}\frac{1-\left(\sqrt[3]{x}\right)^3}{1-\sqrt[3]{x}}=\\
=\lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\left(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}{1-\sqrt[3]{x}}
=\lim_{x\to{1}}\left(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)
=3
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{1-x}{1-\sqrt[3]{x}}=3}\), то заданные бесконечно малые величины при \(\displaystyle{x\to{1}}\) будут одного порядка малости, но не эквивалентными.
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №407 |