Задача №2465

Решение

Применим формулу бинома Ньютона. Согласно данной формуле, после раскрытия скобок в выражении \(\displaystyle{(1+\sqrt{2})^{30}}\) будем иметь сумму из 31 слагаемого. Обозначим эти слагаемые как \(\displaystyle{a_0}\), \(\displaystyle{a_1}\), ..., \(\displaystyle{a_{30}}\). Все слагаемые \(\displaystyle{a_k}\) имеют одинаковую структуру:

Выясним, увеличиваются или уменьшаются элементы \(\displaystyle{a_k}\) с увеличением параметра \(\displaystyle{k}\), т.е. рассмотрим неравенство \(\displaystyle{a_{k+1}\gt{a_k}}\), где \(\displaystyle{k}\) изменяется от 0 до 29. В принципе, можно исследовать знак разности \(\displaystyle{a_{k+1}-a_{k}}\), но в данном случае это мне видится не самым удобным вариантом. С учётом структуры множителей, входящих в \(\displaystyle{a_k}\), а тажке того, что \(\displaystyle{a_k\gt{0}}\), лучше исследовать дробь \(\displaystyle{\frac{a_{k+1}}{a_k}}\) и выяснить, при каких значениях \(\displaystyle{k}\) эта дробь меньше 1, а при каких – больше 1.

Если же \(\displaystyle{18\le{k}\le{29}}\), то \(\displaystyle{\frac{a_{k+1}}{a_k}\lt{1}}\). Иными словами, до элемента \(\displaystyle{a_{18}}\) имеем \(\displaystyle{a_{k+1}\gt{a_k}}\), а после этого элемента \(\displaystyle{a_{k+1}\lt{a_k}}\). Это можно развёрнуто записать так:

Таким образом, наибольшим будет элемент \(\displaystyle{a_{18}}\), т.е.